Reseña

Este documento plantea dos vertientes en su contenido. La primera vertiente, establece la resolución de ecuaciones diferenciales mediante la aplicación de técnicas y métodos clásicos relacionados con conocimientos y habilidades desarrollados previamente en los cursos de Matemáticas Básicas, Algebra Superior, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. La segunda vertiente, presenta la resolución de ecuaciones diferenciales mediante el método de la Transformada de Laplace, también conocido como método operacional.
En la Parte I Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, se definen y establecen los conceptos fundamentales relacionados con las ecuaciones diferenciales, su clasificación y sus tipos de solución. Así mismo, se discute la interpretación geométrica de los tipos de solución, del problema de valor inicial y del teorema de existencia y unicidad. También se describe un método para la obtención de la ecuación diferencial de una familia de curvas. Diferentes ejemplos acordes a los tópicos tratados en esta unidad están incluidos. Se utiliza software pertinente para generar las gráficas de varios ejemplos.
Las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden se estudian en la Parte II, sus propiedades se utilizan para poder determinar la naturaleza del método de solución a aplicar en cada caso. La mayoría de los métodos reducen la ecuación diferencial a una de variables separables, como ocurre con los cambios de variable usados para resolver las ecuaciones diferenciales de coeficientes homogéneos y del mismo grado. También, se realiza la prueba correspondiente del teorema que establece la condición necesaria para que una ecuación diferencial sea exacta tomando en cuenta que tienen su origen en la diferencial exacta de una función de dos variables igualada a una constante que resulta ser la solución a encontrar. Así mismo, se determina la obtención de factores integrantes que convierten una ecuación diferencial originalmente no exacta en exacta. Se plantea el método de solución de la ecuación diferencial lineal de orden uno con el cálculo de su factor integrante, el cual se aplica a la ecuación diferencial lineal de primer orden reduciéndola a una ecuación diferencial de variables separables.
Se incluye como aportación de los autores, un diagrama de flujo que permite al estudiante identificar el tipo de ecuación diferencial de primer orden a resolver y entonces seleccionar el método de solución pertinente. Otra aportación de los autores, incluye el uso de propiedades de los logaritmos para obtener soluciones compactas y elegantes. Con base en las diversas estrategias de solución descritas para resolver las ecuaciones de primer orden, se propone y aplica un método que permite determinar las trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada; que además, se ilustran gráficamente para su mejor comprensión.
En la Parte III se discute la teoría preliminar de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior. Se estudia un criterio que permite determinar si una familia de funciones es linealmente independiente o no. Con base en este criterio, se propone un conjunto de soluciones de tipo exponencial que se combinan linealmente mediante el principio de superposición para resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes a partir del análisis de las raíces de la ecuación auxiliar asociada. En el caso de las ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes no homogéneas, su solución consta de dos partes. La primera, se conoce como solución complementaria o transitoria y se encuentra resolviendo la ecuación diferencial de la homogénea asociada. La segunda, conocida como solución particular, se determina mediante dos métodos posibles: el de coeficientes indeterminados (empleando el enfoque de superposición) y el de variación de parámetros que utiliza el determinante Wronskiano. Se aplican los métodos estudiados en diversos sistemas mecánicos, eléctricos y de deflexión de vigas, por citar algunos problemas de aplicación sujetos a condiciones iniciales o de frontera, según sea el caso.
Una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes y de orden n, puede reducirse a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden mediante diversos cambios de variable, hasta ser llevados a una forma canónica expresada en notación matricial. La solución de este tipo de sistemas constituye el objeto de estudio de la Parte IV Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden. Se utilizan algunos preliminares matemáticos que permiten resolver este tipo de sistemas mediante el cálculo de la matriz exponencial con base en el Teorema de Cayley-Hamilton, la determinación de eigenvalores y la ecuación característica. Tambieén, se resuelven ejemplos que consideran sistemas homogéneos y no homogéneos.
Finalmente, en la Parte V se estudia la Transformada de Laplace como un caso particular de las transformaciones integrales. Se estudian sus propiedades y se establece qué es una transformación lineal. Además, se determinan las transformadas de las funciones más comunes y sus respectivas inversas construyendo las tablas con las fórmulas de las transformadas más útiles. También se prueban y aplican los principales teoremas y propiedades, las cuales resultan útiles para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Se replantea la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden en su forma canónica pero ahora se utiliza la transformada de Laplace para calcular la matriz exponencial al resolver sistemas homogeéneos y no homogéneos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Como se describió en los párrafos anteriores, el material incluido en el libro abarca la teoría básica y ejemplos resueltos de Ecuaciones Diferenciales, el cual puede ser útil como bibliografía fundamental en el estudio de las ciencias básicas y de las ciencias de la ingeniería. Además de su utilidad bajo un enfoque general, el libro constituye una base sólida para estudios posteriores en temas específicos de modelado matemático lineal, simulación y dinámica de los sistemas físicos, sistemas electromecánicos, control clásico y en el espacio de estados, así como el control avanzado de sistemas.